matematika

Logaritma perkalian dua bilangan sama dengan jumlah logaritma dari masing-masing bilangan

Sifat 1
Logaritma perkalian dua bilangan sama dengan jumlah logaritma dari masing-masing bilangan tadi.

(b x c) = b + c

Bukti

Misal : b = x maka a x = b ..... (1)
c = y maka a y = c ..... (2)
Jika persamaan (1) dikalikan (2) diperoleh:
b x c =  x
b x c =  + y
(b x c) =  + y
= x + y
= b +  c terbukti.

Menentukan logaritma dengan menggunakan daftar logaritma

Daftar logaritma yang biasa digunakan disebut daftar logaritma biasa yaitu dengan bilangan pokok 10.
Dalam daftar logaritma yang ditulis hanya bilangan desimal yang menyatakan hasil logaritma dari suatu bilangan. Bilangan desimal ini disebut mantis.
Lajur-lajur dalam logaritma terdiri dari :

Lajur N (lajur pertama) dari atas ke bawah memuat bilangan-bilangan secara berurutan dari nol sampai 1000.

Lajur ke dua sampai dengan lajur ke sebelas, dari kiri ke kanan berturut-turut diisi dengan bilangan 0, 1, 2, 3, ..., 8, 9. Lajur yang memuat angka nol disebut lajur nol, yang memuat angka 9 disebut lajur sembilan.

Batasan dan Sifat-Sifat

BATASAN
Logaritma bilangan b dengan bilangan pokok a sama dengan c yang memangkatkan a sehingga menjadi b.

^a log b = c ® a^c = b ® mencari pangkat

Ket : a = bilangan pokok    (a > 0 dan a ¹ 1)
        b = numerus            (b > 0)
        c = hasil logaritma
Dari pengertian logaritma dapat disimpulkan bahwa :
^alog a = 1 ;^alog 1 = 0 ; ^alog aⁿ = n

SIFAT-SIFAT
1. ^alog bc = ^alogb + ^alogc
2. ^alog bc = c ^alog b
3. ^alog b/c = ^alog b -^alog c ® Hubungan ^alog b/c = - ^a log b/c
4. ^alog b = (^clog b)/(^clog a) ® Hubungan ^alog b = 1 / ^blog a
5. ^alog b.^blog c = ^a log c
6. a ^alog b = b
7. ^alog b = c ® ^{a^p}log b^p = c ® Hubungan : ^{a^q}log b^p = ^alog b^p/q
                                                                       = p/q ^alog b
Keterangan:

Bila bilangan pokok suatu logaritma tidak diberikan, maka maksudnya logaritma tersebut berbilangan pokok = 10.

[ log 7 maksudnya ¹⁰log 7 ]

logⁿx adalah cara penulisan untuk (logx)ⁿBedakan dengan log xⁿ = n log x

Contoh:

Tentukan batas nilai agar log (5 + 4x - x²) dapat diselesaikan !

syarat :

numerus > 0
x² -4x - 5 < 0
(x-5)(x+1) < 0

-1 < x < 5

Sederhanakan

   2 ³log 1/9 + ⁴log 2     =      2(-2) + 1/2          =
³log 2. ²log 5 .^5²log 3³log 2.²log 5. ^5²log3

- 3 1/2                       =   -3 1/2    = -7
³log 3^1/2                           1/2

Jika ⁹log 8 = n   Tentukan nilai dari ⁴log 3 !

⁹log 8 = n
^3²log 2³ = n
3/2 ³log 2 = n
³log 2 = 2n
             3

⁴log 3 = ^2²log 3
         = 1/2 ²log 3
         = 1/2 ( 1/(³log 2) )
         = 1/2 (3 / 2n)
         = 3/4n

Jika log (a² / b⁴) Tentukan nilai dari log ³Ö(b²/a) !

log (a²/b⁴)
log (a/b²)²
2 log ( a/b²)
log ( a/b² )
log ³Ö(b²/a)

= -24
= -24
= -24
= -12
= log (b²/a)^1/3
= 1/3 log (b² / a)
= -1/3 log (a/b²)
= -1/3 (-12) = 4

sifat logaritma

Jika n adalah logaritma dari a dengan bilangan pokok p, maka berlaku :
^plog a = n <---> pⁿ = a
Dengan catatan : a>0, p>0, dan p≠1

Setelah itu, barulah kita mempelajari sifat-sifat logaritma yang bisa kita terapkan di berbagai persoalan.

Sifat-sifat logaritma :
1. ^plog ( ab ) = ^plog a + ^plog b
2. ^alog aⁿ = n
3. ^plog (a/b) = ^plog a - ^plog b
4. ^plog 1 = 0
5. ^plog aⁿ = n . ^alog a
6. ^plog a . ^alog q = ^plog q
7. ^p^ⁿlog a^m = m/n ^plog a
8. ^plog p = 1
9. P^{^plog a} = a

Contoh soal :
Jika ³log 4 = p dan ²log 5 = q maka nilai untuk ³log 5 ?

²log 5 =
^2²log 5² =
2 . ⁴log 5 =
⁴log 5 =

q
q
q
1/2 q

³log 4 . ⁴log 5 = ³log 5
maka ³log 5 = 1/2 (pq)

Logaritma dan Pangkat (Eksponensial)

Bagian ini adalah bentuk-bentuk logaritma yang dapat digunakan untuk memudahkan kita memecahkan suatu soal. Bentuk-bentuk ini mau tak mau harus dihapal, namun jangan takut karena bentuknya sederhana kok. Lihat bentuk-bentuk penyederhanaan dari logaritma dibawah ini,

1. ^alog (c x d) = ^alog c + ^alog d

contoh: ²log (8) = ²log (2 x 4) = ²log 2 + ²log 4 = 1 + 2 = 3

2. ^alog (c : d) = ^alog c - ^alog d

contoh: ³log (9) = ³log (27 : 3) = ³log 27 - ³log 3 = 3 - 1 = 2

3. ^alog c^d = d x (^alog c)

contoh: ²log 2⁸ = 8 x (²log 2) = 8 x 1 = 8

4. (^alog b)(^blog c) = ^alog c

contoh: (²log 65)(⁶⁵log 8 ) = ²log 8 = 3

5. (^alog b) : (^alog c) = ^clog b

contoh: (⁷log 64) : (⁷log 2) = ²log 64 = 6

bentuk-bentuk logaritma